He is a gifted musician and often play the flute at home.
这里为什么在flute 前加the ,"长笛"不是中国乐器吗?

我的理解是这样的，如果某个乐器在英语中有专门的名字，那么前面通常都是使用定冠词the的，只有某些中国乐器，因为没有专门的英语名词指代，所以是汉语拼音来代替，比如二胡的英语就是erhu，那么前面不必使用the

语法书里的解释也给你找了一下，如下
乐器名称有时与不定冠词连用，表示该类中任何一个；定冠词则强调该类区别于他类。
A violin is played with a bow. 小提琴是用琴弓演奏的。（强调任何一把）
She then played a solo on the violin.然后她演奏了一首小提琴独奏曲。

语法书里没有专门说明到底是否就它是中国或者外国乐器而区别是否加the，但是从出现的情况来看，flute是专门指长笛的英语单词，不用研究它到底是中国的还是外国的，根据我上面说的来就行。