法1: 如下图所示
(1) ∵ A1D∥B1C,∴ ∠BA1D是A1B和B1C的角.而A1D=A1B=BD,∴ △A1BD是正△, ∴ ∠BA1D=60°.
(2) ∵ B1C1⊥面ABB1A1,A1B⊥AB1,由三垂线定理AC11⊥A1B.
法2: 向量法:
(1)设D为原点,建立如下图所示的D=xyz坐标系,则
D(0,0),A1(a,0,a),B(a,a,0),B1(a,a,a),C(0,a,0),A(a,0,0),
C1=(0,a,a)
向量(以下略去这二字)A1B=(0,a,-a),B1C=(-a,0,-a),
A1B*B1C=(0,a,-a)*(-a,0,-a)=a^2, |A1B|=√2a,|B1C|=√2a,
∴ A1B和B1C的夹角θ有cosθ=A1B*B1C/(|A1B|*|B1C|)=1/2,
∴ θ=60°
(2) A1B=(0,a,-a),AC1=(-a,-a,0),
∵ AC1*A1B=(-a,a,a)*(0,a,-a)=a^2-a^2=0, ∴ AC1⊥A1B.
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