问题: 初中竞赛几何题
在底边BC的等腰三角形ABC中,顶角A=80°,在△ABC内部取点M,使得∠MBC=30°,∠MCB=10°.
求证: ∠AMC=70°.
解答:
在底边BC的等腰三角形ABC中,顶角A=80°,在△ABC内部取点M,使得∠MBC=30°,∠MCB=10°.
求证: ∠AMC=70°.
证明 ∵∠A=80°,∴∠B=∠C=50°.
又∵∠MBC=30°,∠MCB=10°,
∴∠MBA=20°,∠MCA=40°.
设∠MAC=x,则∠MAB=80°-x.
由塞瓦定理得:
sinx*sin20°*sin10°=sin(80°-x)*sin30°*sin40°
<===>
sinx*sin10°=sin(80°-x)*cos20°
<====>
sinx*sin10°=sin(80°-x)*sin70°
<===> x=10°.
用正十八边形来求解
设正十八边形A1A2...A18的外接圆为圆O.
连A1A6,A1A14,A6A14.
故三角形A1A6A14的内角分别为:
∠A1=80°,∠A6=∠A14=50°.
连A1A13,A6A15,A14A3.
我们只需证A1A13,A6A15,A14A3共点就可了.
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