11。椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的四个顶点A，B，C，D。若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则该椭圆的离心率为？
谢谢

11。椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的四个顶点A，B，C，D。若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则该椭圆的离心率为？

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的四个顶点为：
A(a,0)、B(0,-b)、C(-a,0)、D(0,b)
则：AB=BC=CD=AD=√(a^2+b^2)
所以，四边形ABCD为菱形
且，因为：c^2=a^2-b^2
所以，菱形ABCD的内切圆方程为：x^2+y^2=c^2=(a^2-b^2)
过点AB的直线方程为：bx-ay-ab=0
那么，因为圆是ABCD的内切圆，则圆心（原点）到直线的距离等于圆的半径
所以：d=|0-0-ab|/√(a^2+b^2)=ab/√(a^2+b^2)
所以：ab/√(a^2+b^2)=√(a^2-b^2)
===> ab=√(a^2+b^2)(a^2-b^2)
===> a^2b^2=a^4-b^4
===> a^4-a^2b^2-b^4=0
===> a^2=(√5+1)b^2/2
所以，c^2=a^2-b^2=(√5+1)b^2/2-b^2=(√5-1)b^2/2
所以：e^2=(c/a)^2=c^2/a^2=[(√5-1)b^2/2]/[(√5+1)b^2/2]
=(√5-1)/(√5+1)
=(√5-1)^2/[(√5+1)(√5-1)]
=(√5-1)^2/4
所以：e=(√5-1)/2