设R,r,s分别表示△ABC的外接圆半径，内切圆半径和半周长.在锐角三角形ABC中,求证
s^2≥4R^2+9r^2+4r^3/R

设R,r,s分别表示△ABC的外接圆半径，内切圆半径和半周长.在锐角三角形ABC中.
求证 s^2≥4R^2+9r^2+4r^3/R

简证 在锐角三角形ABC中,
s≥f(R,r)
经代换等价于
√(1-x)(3+x)^3≥f(2,1-x^2) 0≤x≤√2-1
5-x^2≥f(2,1-x^2) √2-1≤x≤1

下分两步证明
1/ 经代换等价于
(1-x)(3+x)^3≥16+9(1-x^2)^2+2(1-x^2)^3
<===>
h(x)=(1-x)(3+x)^3-{16+9(1-x^2)^2+2(1-x^2)^3}
=2x^2*(3-4x-8x^2+x^4)
=2x^2*(x^2+2x-1)*(x^2-2x-3)
当0≤x≤√2-1时,x^2+2x-1≤0,x^2-2x-3<0
故h(x)≥≥0

2/经代换等价于
(5-x^2)^2≥16+9(1-x^2)^2+2(1-x^2)^3
<===>
g(x)=(5-x^2)^2-{16+9(1-x^2)^2+2(1-x^2)^3}
=-2+14x^2-14x^4+2x^6
=-2(1-x^2)*(1-6x^2+x^4)
当√2-1≤x≤1时,
1-6x^2+x^4=[x^2-(3-2√2)]*[x^2-(3+2√2)]
=(x+√2-1)*(x-√2+1)(x-√2-1)(x+√2+1)≤0
故g(x)≥0

命题得证.