问题: 初中几何
圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于O,O到边AB,BC,CD,DA的垂线的垂足分别为E,F,G,H.
证明 四边形EFGH有内切圆.
解答:
证明 设圆ABCD的直径为d.
欲证四边形EFGH有内切圆,只需证EF+GH=FG+HE.
在圆OEBF中，由正弦定理得:
EF=OB*sin∠ABC;
在圆OGDH中，由正弦定理得:
GH=OB*sin∠CDA;
由于∠ABC+∠CDA=180°,所以
EF+GH=(OB+OD)*sin∠ABC=BD*sin∠ABC.
同理可证
FG+HE=AC*sin∠BAD.
在圆内接四边形ABCD中,有
BD/sin∠BAD=AC/sin∠ABC=d.
即 BD*sin∠ABC=AC*sin∠BAD,
故得:EF+GH=FG+HE.
因此四边形EFGH有内切圆.
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