在正方体ABCD-A1B1C1D1中，凌长为a，试求正四面体D1B1AC的体积
请写出详细的过程和思路
将A、C、B1、D1四点两两相连，得到一个棱长为√2a的正四面体
如图
则正四面体的各面均为全等的等边三角形
过点C1作底面ABD1的垂线，垂足为O
因为C1D2=C1A=C1B，CO为共同的高
所以，点O为底面正三角形ABD1的中心
连接D1O并延长，交AB于点E
则，D1E⊥AB，且E为AB中点
因为△ABD1为边长√2a的等边三角形，O为其中心
所以：D1E=(√3/2)AB=(√3/2)*√2a=√6a/2
D1O=(2/3)D1E=(√6a/2)*(2/3)=√6a/3
因为C1O⊥面ABD1，所以：△C10D1为直角三角形
由勾股定理得到：C1O^2=C1D1^2-D1O^2=(√2a)^2-(√6a/3)^2=4a^2/3
所以，C1O=2√3a/3
而，底面正△ABD1的面积=(1/2)*AB*D1E=(1/2)*√2a*(√6a/2)=√3a^2/2
所以，正四面体的体积V=(1/3)S△ABD1*C1O=(1/3)*(√3a^2/2)*(2√3a/3)=a^3/3
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