问题: 高中竞赛不等式问题
已知n∈N, 且n≥2。求证
n[1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+…+1/(n+n)^2]≥25/72.
解答:
简证 当n=2时，
左边=2[1/(2+1)^2+1/(2+2)^2]=25/72。
当n≥3时，由恒等式:
(n+1)^2+(n+2)^2+...+(n+n)^2=n^3+2nΣn+Σn^2
=n^3+n^2*(n+1)+n(n+1)((2n+1)/6
=n(2n+1)(7n+1)/6
即[(n+1)^2+(n+2)^2+...+(n+n)^2]/[n(2n+1)(7n+1)/6]=1
及柯西不等式得:
[(n+1)^2+...+(n+n)^2]/[n(2n+1)(7n+1)/6][1/(n+1)＾2+…+1/(n+n)^2]
>6n^2/[(2n+1)(7n+1)]=6/[(2+1/n)(7+1/n)
≥6/[(2+1/3)*(7+1/3)]=27/77>25/72.
综上，所证不等式成立。
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