问题: 高中竞赛题
已知16个正数的和100，它们的平方和为1000。证明这16个数中没有一个大于25.
解答:
证 不妨设这16个正数为A1，A2，A3，...,A16，
先考虑其中一个A1.则有
A2+A3+...+A16=100-A1
(A2)^2+(A3)^2+...+(A16)^2=1000-(A1)^2
据己知不等式:nΣ(ai)^2≥(Σai)^2，得：
15[(A2)^2+(A3)^2+...+(A16)^2]≥(A2+A3+...+A16)^2
<==> 15[1000-(A1)^2]≥(100-A1)^2
<==> -16(A1)^2+200A1+5000≥0
<==> 2(A1)^2-25A1-625≤0
<==> (2A1+25)*(A1-25)≤0
由于A1>0,所以A1≤25.
同理可证另外15个均不大于25.
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