线性代数方面的应用类问题

1.设A，B均为5阶方阵，|A|=a,|B|=b，除第五列外，A，B对应的元素相同，则|A+B|=______
2.已知A为3阶方阵，且|A|=1/2，则|（3A）^(-1)-2A^*|=______
3.设A为任意n阶方阵，则下列结论中不正确的是（）
A.A+A^是对称矩阵
B.A-A^T是对称矩阵
C.A(A^T)是对称矩阵
D.(A^T)A是对称矩阵
4.设A是可相似对角化的方阵，r（A）=r，证明A的非零特征根为r个
5.设B为可逆矩阵，A=(B^T)B，证明：f(x)=(x^T)Ax为正定二次型


{A}表示的是A的行列式？
1.16(a+b)（考虑按最后一列展开）
2.AA^*=I{A},所以A^*=A^(-1)/2,(3A)^(-1)-2A^*=A^(-1)*2/3取行列式得2*(2/3)^3=16/27
3.(1)(A+A^T)^T=A^T+A=A+A^T
(2)(A-A^T)^T=A^T-A=-(A-A^T)一般来说不等于A-A^T
利用(AB)^T=B^TA^T容易看出3,4也是正确的
4.用秩的定义立得
5.x^TAx=(Bx)^T(Bx)，显然大于等于0，并且当且仅当Bx等于0时，(Bx)^T(Bx)等于0
由于B可逆，所以当Bx=0（此处的O为0向量）时,x=0，正定