已知:a>1,b>1,c>1，求证:
a^2/(b-1)+b^2/(c-1)+c^2/(a-1)≥12

已知:a>1,b>1,c>1，求证:
a^2/(b-1)+b^2/(c-1)+c^2/(a-1)≥12

证明(一) 由 (a-2)^2≥0, <==> a^2-4a+4≥0,
<==> a^2≥4(a-1)>0.
同样可得出:
b^2≥4(b-1)>0,
c^2≥4(c-1)>0.
于是，据三元均值不等式得
a^2/(b-1)+b^2/(c-1)+c^2/(a-1)≥
4{(a-1)/(b-1)+(b-1)/(c-1)+(c-1)/(a-1)}≥12.
当且仅当a=b=c=2时等号成立。

证明(二)由Cauchy不等式，
a^2/(b-1)+b^2/(c-1)+c^2/(a-1)≥(a+b+c)^2/[(a-1)+(b-1)+(c-1)]
记u=a+b+c>3. 要证原不等式成立，只有证明
u^2/(u-3)≥12
<===> u^2>=12(u-3)
<===>u^2-12u+36>=0
<===> (u-6)^2>=0.
显然成立。