问题: 初中几何
设P是正△ABC内部任意一点，过P作BC，CA，AB的垂线，垂足分别为D，E，F。
求证:S(PBD)+S(PCE)+S(PAF)=S(ABC)/2。
解答:
证明 过P作MN∥ BC交AB,AC于M,N，过B作BQ⊥MN交于Q,过C作CR⊥MN交于R。记正△AMN的边长为1，设PM=x,则PN=1-x。于是
S(PAF)+S(PNE)=(1/2)*(√3/2)*[x(1-x/2)+(1-x)*(1-x)/2]
=√3/8=S(AMN)/2。
又Rt△BMQ≌Rt△CNR，所以
S(PBD)+S(PCN)=[S(BDPQ)+S(DCRP)]/2-S(CRN)=S(PCD)+S(BMP)=S(BCNM)/2.
从而 S(PBD)+S(PCE)+S(PAF)=S(PAF)+S(PNE)+S(PBD)+S(PCN)
[S(AMN)+S(BCNM)]/2=S(ABC)/2。
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