问题: 三角不等式
在锐角三角形ABC中,求证
∑(cosB+cosC)/cosA≥∑1/cosA
解答:
在锐角三角形ABC中,求证
∑(cosB+cosC)/cosA≥∑1/cosA
证明 ∵cosA*cosB*cosC>0
cosA+cosB+cosC=1+r/R.
∴所以所证不等式等价于
r(cosB*cosC+cosC*cosA+cosA*cosB)≥3RcosA*cosB*cosC (1)
根据己知恒等式:
∑cosB*cosC=(s^2-4R^2+r^2)/(4R^2)
∏cosA=(s^2-4R^2-4Rr-r^2)/(4R^2)
所证不等式等价于
12R^3+8R^2*r+3Rr^2+r^3-(3R-r)s^2≥0 (2)
(2)式弱于Kooi不等式:R(4R+r)^2≥2(2R-r)s^2.
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