不知道如何处理了。。。。

对所证不等式作角变换:
A→90°-A/2,B→90°-B/2,C→90°-C/2,得:
∑√(1-sinB*sinC)≥3/2 (A)
那么上述锐角三角形问题就转化任意三角形问题.
我们只需证(1)式对任意三角形成立即可

首先给出三个局部不等式
√(1-sinB*sinC)≥sin(A/2)/cos[(B-C)/2] (1-1)
√(1-sinC*sinA)≥sin(B/2)/cos[(C-A)/2] (1-2)
√(1-sinA*sinB)≥sin(C/2)/cos[(A-B)/2] (1-3)

(1-1)等价于
(1-sinB*sinC)*{cos[(B-C)/2]}^2≥[sin(A/2)]^2
<==> (1-sinB*sinC)*[1+cos(B-C)]≥1-cosA
<==> cosA-sinB*sinC+cos(B-C)-sinB*sinC*cos(B-C)≥0
<==> sinB*sinC*[1-cos(B-C)]≥0,
(1-1)显然成立。

同理可证(1-2)和(1-3).

设a,b,c分别表示ΔABC三边长，则
sin(A/2)/cos[(B-C)/2]=a/(b+c);
sin(B/2)/cos[(C-A)/2]=b/(c+a);
sin(C/2)/cos[(A-B)/2]=c/(a+b).
只需证:
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2 (2)
由柯西不等式得
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥(a+b+c)^2/[2(bc+ca+ab)]
所以只需证:
(a+b+c)^2≥3(bc+ca+ab) (3)
(3)<==>
a^2+b^2+c^2≥bc+ca+ab (4)
(4)式是己知不等式。

所证不等式可作指数推广
可以证明:当t≥log4(3/2)=0.29248127…,下面不等式成立
∑(1-sin2B*sin2C)^t ≥3/2^t。

实际上(A)式可加强为
∑√(1-sinB*sinC)≥2∑[sin(A/2)]^2