证明 存在一个正多边形，它的边长等于它的最长的对角线减去最短的对角线.

证明 存在一个正多边形，它的边长等于它的最长的对角线减去最短的对角线.

证明 设正多边形的外接圆直径为1，
则圆心角α所对的弦长为sin(α/2).

(1),若n=2k，则所求正多边形满足:
f(k)=sin(π/k)+sin(π/2k)=1
函数f(k)是单调递减的,f(4)>1>f(5) ，故此时无解。

(2),若n=2k+1≥5，则所求正多边形满足:
sin[π/(2k+1)]+sin[2π/(2k+1)]=sin[kπ/(2k+1)]
=cos{π/[2(2k+1)]}
由于π/[2(2k+1)]=x≤π/10，cosx≠0，上式即为
cosx=sin(2x)+sin(4x)=2cosx*sin(3x)
从而 sin(3x)=1/2，3x=π/6，即n=9.
经验证n=9是唯一的解。