在直角三角形ABC中,∠A=90°,AD⊥BC，NB平分∠ABC,交AD于M,交AC于N.
求证 AB^2-AN^2=BM*BN

证明一 因为AB⊥AC，AD⊥BC，BN平分∠ABC，则易证
∠ANM=90°-∠ABN=90°-∠BMD=∠AMN，
所以△MAN是等腰三角形，即AM=AN。
过A作AE⊥MN，交BN于E，则EN=MN/2=(BN-BM)/2。
易证Rt△AEN∽Rt△BAN，故AN/EN=BN/AN
<==> AN^2=BN*EN=BN*(BN-BM)/2.
<==> 2AN^2=BN^2-BN*BM。 (1)
在Rt△BAN中, 由勾股定理得:
AB^2+AN^2=BN^2 (2)
(2)-(1)即得: AB^2-AN^2=BN*BM。证毕。

证明二 在AB与AB延长线上分别取点E，F,使AE=AF=AN
易知∠ANB=∠C+∠CBN=∠BAD+∠ABN=∠AMN，
∴AM=AN，∴∠AFN=45°，
∴∠AMN+∠AME=∠ANM+∠AEM=135度，
∴∠BME=45°，
∴△BME∽△BFN，
∴BM/BF=BE/BN，BE*BF=BM*BN，
∴AB^2-AN^2=BM*BN