貌似也比较容易。。。。看看有没有好的方法。

据题设条件:a^2+b^2+c^2=3,
对所证不等式齐次化,等价于
(2∑a^2-3bc)(2∑a^2-3ca)(2∑a^2-3ab)≥(∑a^2)^3

<===>
7(∑a^2)^3-12∑bc*(∑a^2)^2+18abc∑a*∑a^2-27(abc)^2≥0

<==>
∑a^2[7(∑a^2)^2-12∑bc*∑a^2)+15abc∑a]
+3abc[∑a*∑a^2-9abc]≥0

而
7(∑a^2)^2-12∑bc*∑a^2)+15abc∑a (1)
(1)<==>
7∑a^4-12∑a^*(b+c)+14∑(bc)^2+3abc∑a≥0

设a=min(a,b,c),上式分解为
[7a^2-5a(b+c)+9b^2+9c^2-14bc]*(a-b)*(a-c)
+(7b^2-7bc+7c^2-3a(b+c)]*(b-c)^2≥0 (2)
∵7a^2-5a(b+c)+9b^2+9c^2-14bc
=7(b-c)^2+(4b-5a)^2/8+(4c-5a)^2/8+3a^2/4>0
∵7b^2-7bc+7c^2-3a(b+c)
=3b(b-a)+3c(c-a)+4(b-c)^2+bc>0
∴(2)式成立.

∑a*∑a^2-9abc≥0,显然成立.
因此所证不等式得证.