己知一个直角三角形内接于一条抛物线:y=x^2[y^2=x].
求证 该直角三角形的斜边不小于2。

己知一个直角三角形内接于一条抛物线:y=x^2[y^2=x].
求证 该直角三角形的斜边不小于2。

证明 给定抛物线方程:y=x^2，设∠C为直角，则
A（a,a^2)，B(b,b^2)，C(z,z^2)。
故有 CA=(a-z,a^2-z^2)，CB=(b-z,b^2-z^2)，
因为∠C为直角，所以(CA,CB)=0，
即(a-z)(b-z)+(a^2-z^2)(b^2-z^2)=0，
由此得:
1+(a+z)(b+z)=0
<==> z^2+(a+b)z+1+ab=0，
将该等式看作z的二次方程，该方程有解，
Δ=(a+b)^2-4(1+ab)=(a-b)^2-4≥0，
从而∣a-b∣≥2，即 AB≥2,
当顶点为(-1,1).(1,1),(0,0)三角形时，AB=2。