设D,E,F分别是三角形ABC边BC,CA,AB上的点,R,r是三角形ABC的外接圆半径和内切圆半径.
求证:R(EF+FD+DE)≥r(BC+CA+AB)

证明 记BC=a,CA=b,AB=c,AF=x,BD=y ,CE=z。
则BF=c-x,CD=a-y,AE=b-z。
根据余弦定理，在△AEF中，
EF^2=x^2+(b-z)^2-2x(b-z)cosA
=x^2+(b-z)^2+2x(b-z)cos(B+C)
=[xcosC+(b-z)cosB]^2+[xsinC-(b-z)sinB]^2
≥[xcosC+(b-z)cosB]^2。
所以得:
EF≥xcosC+(b-z)cosB;
同理可得:
FD≥ycosA+(c-x)cosC;
DE≥zcosB+(a-y)cosA。
上述三式相加得:
EF+FD+DE≥a*cosA+b*cosB+c*cosC 。
注意到恒等式:
a*cosA+b*cosB+c*cosC=2rs/R.
因此:R(EF+FD+DE)≥r(BC+CA+AB)