问题: 初中几何证明题
在任意三角形ABC中,以BC为边作两个正三角形BCM,BCN.
求证:AM^2+AN^2=BC^2+CA^2+AB^2.
解答:
在任意三角形ABC中,以BC为边作两个正三角形BCM,BCN.
求证:AM^2+AN^2=BC^2+CA^2+AB^2.
证明 设正三角形BCM在形外,正三角形BCN在形内.
记BC=a,CA=b,AB=c.
在△ABM中,∠ABM=B+60°,由余弦定理得:
AM^2=AB^2+BM^2-2AB*BM*cos(B+60°)
AM^2=c^2+a^2-2ac*cos(B+60°) (1)
在△ABN中,∠ABN=｜B-60°｜,由余弦定理得:
AN^2=AB^2+BN^2-2AB*BN*cos(B-60°)
AN^2=c^2+a^2-2ac*cos(B-60°) (2)
(1)+(2)得:
AM^2+AN^2=2(c^2+a^2)-2ac[cos(B+60°)+cos(B-60°)]
=2(c^2+a^2)-2ac*cosB
=2(c^2+a^2)+b^2-c^2-a^2=a^2+b^2+c^2.
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