问题: 简单的微分方程
ydx+(xy+x-ey(此y为指数))dy=0
ydx=(1+xlny)xdy
解答:
一．ydx+(xy+x-e^y)dy=0。
①最简单方法：在方程等式两边同乘e^y得到
(ye^y)dx+[(xy+x)e^y-e^(2y)]dy=0，
凑微分得d{xye^y-[e^(2y)]/2]}=0，
得到通解xye^y-[e^(2y)]/2]=C。
②笨办法，化成以x为未知函数,y为自变量的线性方程
dx/dy+[(y+1)/y]x=e^y
后硬套公式。
二．ydx=(1+xlny)xdy
①最简单方法：在方程等式两边同乘1/x^2得到
(y/x^2)dx-(1/x)dy-(lny)dy=0，
凑微分得d[y/x-y+ylny]=0，
得到通解y/x-y+ylny=C。
②笨办法，化成以x为未知函数,y为自变量的伯努利方程
dx/dy-(1/y）x=(x^2)lny
令u=1/x,化成线性方程
du/dy+u/y=-(lny)/y
然后硬套公式。
参考文献：新浪博客山路水桥考研辅导10-004、10-005、10-006有关文章
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