在非钝角三角形ABC中,试证
∑[sinA/2)]^2*{cos[(B-C)/2]}^2≤3/4

在非钝角三角形ABC中,试证
∑[sinA/2)]^2*{cos[(B-C)/2]}^2≤3/4 (1)

∵∑[sinA/2)]^2=(s-b)(s-c)/bc
{cos[(B-C)/2]}^2=(b+c)^2*(s-b)*(s-c)/(a^2*bc)
∴∑[sinA/2)]^2*{cos[(B-C)/2]}^2
=[(s-b)(s-c)*(b+c)]^2/(abc)^2

故所证不等式等价于
∑[a^2-(b-c)^2]^2*(b+c)^2≤12(abc)^2
上式展开为
-∑a^6+2∑a^5*(b+c)+∑a^4*(b^2+c^2)-2∑(bc)^3-abc∑a^3≥0

设a=max(a,b,c),则b^2+c^2-a^2≥0.上式分解为
a^2*(b^2+c^2-a^2)(a-b)(a-c)
+(ab+ac-bc)(b^2+c^2-a^2)(b-c)^2
+[b^2*(a^2-b^2)+c^2*(a^2-c^2)](b-c)^2≥0
上式显然成立.

(1)式等价于:s^2≥2R^2+8Rr+3r^2.