问题: 关于三角形垂心与内心的一个问题
设H,I分别是三角形ABC的垂心和内心.求证
AH+BH+CH≥AI+BI+CI.
解答:
设H,I分别是三角形ABC的垂心和内心.求证
AH+BH+CH≥AI+BI+CI.
证明 因为AH=2RcosA,AI=√[bc(s-a)/s]
所以 AH+BH+CH=2(R+r)
根据已知不等式:
4R^2+4Rr+3r^2≥s^2
得 4(R+r)^2≥bc+ca+ab
∵∑sin(A/2)≤3/2
<==>
3abc≥2∑a√[bc(s-b)(s-c)]
∴(AI+BI+CI)^2=∑bc-3abc/s+2∑a√[bc(s-b)(s-c)]/s
≤bc+ca+ab.
故得4(R+r)^2≥bc+ca+ab≥(AI+BI+CI)^2
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