设P是三角形ABC平面上任意一点,AP,BP,CP的中点分别为K,M,N;BC,CA,AB的中点分别为D,E,F.G是三角形ABC的重心.求证
(1),AP^2+BP^2+CP^2≥DK^2+EM^2+FN^2;
(2),DK^2+EM^2+FN^2≥AG^2+BG^2+CG^2.

设P是三角形ABC平面上任意一点,AP,BP,CP的中点分别为K,M,N;BC,CA,AB的中点分别为D,E,F.G是三角形ABC的重心.求证
(1),AP^2+BP^2+CP^2≥DK^2+EM^2+FN^2;
(2),DK^2+EM^2+FN^2≥AG^2+BG^2+CG^2.

简证 连PD,AD.
由中线公式得:
4DK^2=2AD^2+2PD^2-AP^2 (1)
4PD^2=2BP^2+2CP^2-BC^2 (2)
4AD^2=2CA^2+2AB^2-BC^2 (3)
2*(1)+(2)+(3)得:
4DK^2=CA^2+AB^2-BC^2+BP^2+CP^2-AP^2 (4)
同理可得:
4EM^2=AB^2+BC^2-CA^2+CP^2+AP^2-BP^2 (5)
4FN^2=BC^2+CA^2-AB^2+AP^2+BP^2-CP^2 (6)
(4)+(5)+(6)得:
4(DK^2+EM^2+FN^2)=BC^2+CA^2+AB^2+AP^2+BP^2+CP^2 (7)

根据三角形重心性质:
3(AP^2+BP^2+CP^2)≥BC^2+CA^2+AB^2 (8)
所以得所证两个不等式.