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解决排列、组合问题的几种思想

排列、组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础，解答排列、组合问题，首先要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时还要注意讲究一些策略和技巧，恰当地运用数学思想，可以使一些看似复杂的问题迎刃而解。本文就解决排列、组合问题的常见思想简单归纳如下。
一. 主元思想
主元思想，就是对题目中的特殊元素、特殊位置优先考虑，抓住主要矛盾，从而达到解决问题的目的。
例1. 某单位安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙2人都不安排在5月1日和5月2日，则不同的安排方法有多少种？
解析：确定特殊对象，找出主元，优先考虑主元。可优先安排甲乙2人有 种安排法，再安排其他5人，有 种安排法，这样共有 安排法。

二. 分类思想
分类思想，就是当问题中的元素较多，取出的情况也较多时，可按要求分成互不相容的几类情况，从而避免遗漏和重复，使问题顺利得到解决。
例2. 如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给行政区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色。现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法有多少种？

解析：因区域2和4、3和5不相邻，故分两类：
（1）当2和4同色，3和5同色时，着色方法有 ；
（2）当2和4、3和5其中之一同色时，着色方法有 种。
这样着色方法共有 。

例3. 某学校从8名教师中选派4名教师去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有多少种？
解：由题意知，甲和乙不同去分为三种情况：
（1）甲去乙不去，丙去，则不同的选派方案有 ；
（2）甲不去乙去，丙不去，则不同的选派方案有 ；
（3）甲、乙都不去，则丙不去，此时不同的选派方案有 。
所以，不同的选派方案共有240+240+120=600（种）。

三. 补集思想
某些排列、组合问题，正面情况较复杂而反面情况较简单时，可先求总的排列数，再减去不符合要求的排列数，就可获得结果。
例4. 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有多少个？
解：由数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复的四位数有 个，不能被5整除实质上是末位数字不是0或5。末位为0时有 个，末位为5时有 个。故满足题意的四位数共有 。

四. 整体思想
整体思想，就是将某些有特殊要求的元素（如相邻等）看做一个整体参与排列。
例5. 7人站成一排照相，要求甲、乙2人之间恰好隔3人的站法有多少种？
解：甲、乙及间隔的3人组成一个“小整体”，这3人可从其余5人中选，有 种。这个“小整体”与其余2人共3个元素全排列有 种方法，它的内部甲、乙2人有 种排法，中间选的3人有 种排法。故符合要求的站法共有 。

五. 等几率思想
对于某几个顺序一定的元素的排列问题，由于这几个元素的每种顺序在排列中出现的几率相同，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。
例6. 8个人排队，其中甲、乙、丙3人按“甲—乙—丙”顺序的排队方法有多少种？
解：8个人排队方法共有 种，因甲、乙、丙3人可排出 种不同的顺序，每种顺序在 种排法中出现的几率相等，故符合条件的排法有 。