问题: 初中不等式问题
在非钝角三角形ABC中,R为其外接圆半径.求证:
BC^2+CA^2+AB^2≥8R^2
解答:
在非钝角三角形ABC中,R为其外接圆半径.求证:
BC^2+CA^2+AB^2≥8R^2
由正弦定理知所证不等式等价可
(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2≥2 (1)
再由(sinA)^2=1-(cosA)^2,得:
1≥(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2 (2)
由三角恒等式:
1=(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosA*cosB*cosC
知(2)式等价于
cosA*cosB*cosC≥0 (3)
∵A,B,C均非钝角,
∴cosA≥0, cosB≥0, cosC≥0.
上边三个等号只有一个可取得.
故(3)式成立.
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