设H是△ABC的垂心， D、E、F分别为AH、BH、CH中点， K、M、N分别为BC、CA、AB中点，O为△ABC外接圆的圆心， 求证：AO=DK。

设H是△ABC的垂心， D、E、F分别为AH、BH、CH中点， K、M、N分别为BC、CA、AB中点，O为△ABC外接圆的圆心， 求证：AO=DK。
此问题有许多证法，下面仅提传一种三角证法.
解 延长AH交BC于X.
因为AH=2R*cosA,HX=2R*cosB*cosC,BX=c*cosB=2R*sinC*cosB，
所以DX=︱R(cosA+2cosB*cosC)︱,KX=︱R*(sinA-2sinC*cosB︱
在Rt△DXK中
DK^2=DX^2+KX^2=R^2[(cosA+2cosB*cosC)^2+(sinA-2sinC*cosB)^2]
=R^2*[1+4cosB*(cosA*cosC-sinA*sinC)+4(cosB)^2]
=R^2*[1+4cosB*cos(A+C)+4(cosB)^2]=R^2.
所以AO=DK。
以上是数学超女mxabc555的解答。下面用平几方法证之：

证二：
延长AO交圆O于P，连结PB，PC，PH，
∵AP为直径，∴PB⊥AB，又CH⊥AB，∴CH//PB
同理BH//PC，∴四边形PBHC是平行四边形，
其对角线AC，PH互相平分，即PH过BC中点K，
∵D是AH中点，∴DK=AP/2=AO



参考文献：http://iask.sina.com.cn/b/13538630.html