在三角形ABC中,求证
8[∏sin(A/2)]^2≥∑tan(A/2)*∏cosA

在三角形ABC中,求证
8[∏sin(A/2)]^2≥[∑tan(A/2)]^2*∏cosA

简证 由三角形三角恒等式得:
∏sin(A/2)=r/(4R),
∑tan(A/2)=(4R+r)/s;
[∑tan(A/2)]^2=[(4R+r)^-2s^2]/s^2,
∏cosA=[s^2-(2R+r)^2]/(4R^2).

所以所证不等式等价于
8(r/4R)^2≥{[(4R+r)^-2s^2]/s^2}*[s^2-(2R+r)^2]/(4R^2).
<===>
2s^4+(24R^2+16Rr+r^2)s^2+(2R+r)^2(4R+r)^2≥0 (1)

(1)式可化为s≤f(R,r)
作置换:R=2,r=1-x^2,s^2=(1-x)(3+x)^3,x∈[-1,0]
f(s,R,r)=2s^4-(24R^2+16Rr+r^2)s^2+(2R+r)^2*(4R+r)^2
=2(1-x)^2*(3+x)^6-[96+32(1-x^2)+(1-x^2)^2](1-x)(3+x)^3
+(5-x^2)^2*(9-x^2)^2
=(3+x)^2[2(1-x)^2(3+x)^4-(109-34x^2+x^4)(1-x)(3+x)+(5-x^2)^2(3-x)^2
=4(3+x)^2*(x^4+4x^3+6x^2+4x+1)
=4x^2*(3+x)^2*(x+1)^4, x∈[-1,0]
显然成立.