问题: 三角不等式
在锐角三角形ABC中，求证
∑[sin(A/2)]^2≥3/8+5∑[cos(B-C)/2]/8
解答:
在锐角三角形ABC中，求证
∑[sin(A/2)]^2≥3/8+5∑[cos(B-C)/2]/8
此不等式对任意三角形均成立.
作角代换A/2→90°-A,B/2→90°-B,C/2→90°-C.则为
(∑cosA)^2≥3/8+5∑cos(B-C)/8. (1)
由三角形三角恒等式:
∑cosA=(R+r)/R
∑cos(B-C)=(s^2-2R^2+2Rr+r^2)/(2R^2)
∴[(R+r)/R]^2≥3/8+5(s^2-2R^2+2Rr+r^2)/(16R^2)
<===>
5s^2-20R^2-22Rr-11r^2≤0
<==>
5(4R^2+4Rr+3r^2-s^2)+2r(R-2r)≥0
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