把y=1-x代入椭圆方程得,(a²+b²)x-2a²x+a²(1-b²)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2a²/(a²+b²),x1x2=a²(1-b²)/(a²+b²)…(*).
(1) 2c=2,c/a=1/√3, a²=3,b²=1,(*)式变为5x²-6x-3=0,x1+x2=6/5,x1x2=-3/5, k=-1.|AB|²=(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]=3×64/25,
|AB|=8√3/5.
(2) 向量OA⊥向量OB, x1x2+y1y2=0,y1y2=(1-x1)(1-x2)=x1x2-(x1+x2)+1. ∴ 2x1x2-(x1+x2)+1=0,即=可得2a²-1=1/(1-e²),
∵ 1/2≤1-e²≤3/4, ∴ a²≤3/2,a≤√6/2,
∴ 长轴长的最大值为√6.