在锐角三角形ABC中,求证
(sin2A)^2/(sinB*sinC)+(sin2B)^2/(sinC*sinA)
+(sin2C)^2/(sinA*sinB)≤3

在锐角三角形ABC中,求证
(sin2A)^2/(sinB*sinC)+(sin2B)^2/(sinC*sinA)
+(sin2C)^2/(sinA*sinB)≤3 (1)


由正弦与余弦定理,(1)式等价于
-∑a^9+2∑a^7*(b^2+c^2)-∑a^5*(b^4+c^4)-2(abc)^2*∑^3+3(abc)^3≥0 (2)

(2)式化为s,R,r形式为
s^4-(4R^2+10Rr+10r^2)s^2+r(30R^3+52R^2*r+30Rr^2+5r^3)≥0 (3)

(3)式分解如下:
[s^2-(2R+r)^2]*(s^2-9Rr-9r^2)+3Rr(s^2-2R^2-8Rr-3r^3)
+2r^2*(2R+r)(R-2r)≥0.

∵s^2≥(2R+r)^2,s^2≥9r(R+r),s^2≥2R^2+8Rr+3r^2,R≥2r.
∴上式成立.

不妨设 a=max(a,b,c),则a^2≤b^2+c^2,(2)式分解为
a^3*(a^2-b^2)*(a^2-c^2)*(b^2+c^2-a^2)+
(b+c)(b^2+c^2-a^2)(b-c)^2*[b^2*(a^2-b^2)+c^2*(a^2-c^2)+bc(a^2+bc-b^2-c^2)]
+(bc)^2*(b-c)^2[a^2(b+c-a)+2bc(b+c)]
+a^3*b^2*c^2*(a-b)*(a-c)≥0.