问题: 三角形不等式
设a,b,c是△ABC的边BC,CA,AB的边长,2s=a+b+c.求证
a*sin(A/2)+b*sin(B/2)+c*sin(C/2)≥s.
解答:
证 由三角形半角公式得:
∑a√[(s-b)*(s-c)/bc]≥s
根据三个局部不等式:
a√[(s-b)*(s-c)/bc]≥a(b+c)(s-b)(s-c)/(abc) (1-1)
b√[(s-c)*(s-a)/ca]≥b(c+a)(s-c)(s-a)/(abc) (1-2)
c√[(s-a)*(s-b)/bc]≥c(a+b)(s-a)(s-b)/(abc) (1-3)
而∑a(b+c)(s-b)(s-c)/(abc)
=∑a(b+c)[a^2-(b-c)^2]/(4abc)
=[∑a^3(b+c)-∑a(b^3+c^3)+2abc∑a]/(4abc)
=2abc∑a/(4abc)=s
所以(1-1)+(1-2)+(1-3)即得所证不等式.
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