问题: 一道国外竞赛数学问题
设a,b,c,d正实数,满足 a+b+c+d=4.求证
4(1/a+1/b+1/c+1/d)≥3(a^2+b^2+c^2+d^2)+4
解答:
设a,b,c,d正实数,满足 a+b+c+d=4.求证
4(1/a+1/b+1/c+1/d)≥3(a^2+b^2+c^2+d^2)+4
证 首先齐次化
(∑a)^3*∑bcd≥48abcd*∑a^2+4abcd*(∑a)^2 (1)
(1)式展开为
∑a^4*(bc+cd+db)+3∑a^3*[bc(b+c)+cd(c+d)+db(d+b)]+∑(bcd)^2
+10abcd∑ab-42abcd∑a^2≥0 (2)
(2)<===>
∑cd(3c^2+3d^2+2cd+a^2+b^2-6ab)*(a-b)^2≥0 (3)
(3)式
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