设x,y,z为正实数，寻求简单证法[高中范围]
x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y)≥(x+y+z)/2

有个不等式是成立的(好像是柯西不等式或其变式，记不太清了)：
a1^2/b1+a2^2/b2+……+an^2/bn≥（a1+a2+……+an）^2/(b1+b2+……bn)
{也即：
(b1+b2+……bn)(a1^2/b1+a2^2/b2+……+an^2/bn)≥（a1+a2+……+an）^2}
（年代久远，就不证了，好像可以用函数法证明）
所以此题证法如下：
x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y)≥(x+y+z)^2/2(x+y+z)=(x+y+z)/2
很简单滴。

　　柯西不等式的一般证法有以下几种：
　　■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
　　我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
　　则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
　　用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
　　于是移项得到结论。
　　■②用向量来证.
　　标注,这里的m,n是指代的向量m,向量n
　　m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
　　mn=a1b1+a2b2+......+anbn=|m||n|cos<m,n>=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)*(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)*cos<m,n>
　　因为cos<m,n>小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)
　　这就证明了不等式．
　　柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．

在此题中变通一下就是：
ai=ai^/根号下（bi）,bi=根号下（bi）,则ai^2=ai^2/bi,bi^2=bi,就可以正上面那个不等式了。

参考文献：http://baike.baidu.com/view/7618.htm