设a≥0,b≥0,a^2+b^2/2=1,则a√(1+b^2)的最大值是？已知a>0,b>0,c>0,且a(a+b+c)=4-2√3,则2a+b+c的最小值是？

设a≥0,b≥0,a^2+b^2/2=1,则a√(1+b^2)的最大值是？
因为：a^2+(b^2/2)=1，a≥0,b≥0
所以，令a=cosθ，b=√2sinθ，θ∈[0,π/2]
那么，a√(1+b^2)=√(a^2+a^2b^2)
=√[cos^2(θ)+2cos^2(θ)sin^2(θ)]
=√[2cos^2(θ)*(1-cos^2(θ)+cos^2(θ)]
=√[-2cos^4(θ)+3cos^2(θ)]
=√[-2(cos^2θ-3/4)^2+(9/8)]
对于这个二次函数，当cos^2θ=3/4时，它有最大值=9/8
所以，原式的最大值是√(9/8)=(3√2)/4

已知a>0,b>0,c>0,且a(a+b+c)=4-2√3,则2a+b+c的最小值是？
因为：a(a+b+c)=4-2√3
所以，b+c=[(4-2√3)/a]-a
则，2a+b+c=2a+[(4-2√3)/a]-a=a+[(4-2√3)/a]
≥2√[a*(4-2√3)/a]=2√(4-2√3)
=2*√[(√3-1)^2]
=2(√3-1)
当且仅当a=(4-2√3)/a，即a^2=4-2√3，亦即：a=√3-1时取等号
所以，2a+b+c的最小值是2(√3-1)