如图,P是等边三角形ABC的一边BC上任意一点,连接AP,AP的垂直平分线交AB,AC于M,N两点.求证:BP*PC=BM*CN

∵ MN垂直平分AP
∴ AN=PN AM=MP
∵ AN=PN AM=MP MN=MN
∴ △AMN≌△PMN（SSS）
∴ ∠MAN=∠MPN（全等三角形的对应角相等）
∵ △ABC是等边三角形
∴ ∠MAN=∠B=∠C=60°
∴ ∠MPN=60°
∴ ∠MPB+∠CPN=120°
∵ ∠B=60°
∴ ∠MPB+∠BMP=120°（三角形内角和定理）
∴ ∠CPN=∠BMP
∵ ∠CPN=∠BMP ∠B=∠C=60°
∴ △BMP∽△CPN（两角对应相等的两个三角形相似）
∴
∴ BP*CP=BM*CN
在以后证明线段乘积相等的题目中，要想到如何证明线段所在的两个三角形相似。
此题就是通过证明△BMP∽△CPN得到结论的。