设R表示三角形外接圆半径,r表示三角形内切圆圆半径.
ma,mb,mc是对应的三角形中线.求证
1/r≥1/ma+1/mb+1/mc≥2/R

设R表示三角形外接圆半径,r表示三角形内切圆圆半径.
ma,mb,mc是对应的三角形中线.求证
1/r≥1/ma+1/mb+1/mc≥2/R

左边不等式很简单。
设ha,hb,hc是对应的三角形高线.
∵1/ha+1/hb+1/hc=1/r,
ma≥ha,mb≥hb,mc≥hc.
∴1/r≥1/ma+1/mb+1/mc

右边不等式等价于
R∑mb*mc≥2ma*mb*mc (1)
<===>
abc∑mb*mc≥8△ma*mb*mc (2)

运用Klamkin中线对偶定理得:
2ma*mb*mc∑bc≥9△abc (3)

∵(8abc*ma*mb*mc)^2-[4△∑(bc)^2]^2
=(a^2-b^2)^2*(b^2-c^2)^2*(c^2-a^2)^2≥0
∴ ma*mb*mc≥[∑(bc)^2]/(8R)

故只需证
∑bc*[[∑(bc)^2]≥9(abc)^2 (4)
由三元算术--几何平均不等式即知(4)式成立.