在三角形ABC中，D是AB的中点，E，F分别是边AC，BC上的点，且DE垂直DF，求证：
三角形DEF面积＜三角形ADE面积＋三角形BDF面积.

证明 设CE/CA=x，CF/CB=y，显然 0<x≤1, 0<y≤1. 则得
S(CEF)=x*y*S(ABC)/2;
S(ADE)=[(1-x)*AD*AC*sinA]/2=(1-x)*S(ABC)/4;
S(BDF)=[(1-y)*BD*BC*sinB]/2=(1-y)*S(ABC)/4.

所证不等式:S(ADE)+S(BDF)≥S(DEF) 等价于
2[S(ADE)+S(BDF)]≥S(ABC)-S(CEF).
<==> 1-x-y+xy≥0
<==> (1-x)*(1-y)≥0,
上式显然成立。
所以 S(ADE)+S(BDF)≥S(DEF) 成立.
当E点与A重合[或者F点与B重合]时等号成立。

命题中, DE⊥DF是多余的。不需要这个条件。