问题: 求最小值问题
在三角形ABC中,记三边长为a,b,c.试求使下式成立
a^2/(b^2+bc+c^2)+b^2/(c^2+ca+a^2)+c^2/(a^2+ab+b^2)≤k
的最小值.
解答:
在三角形ABC中,记三边长为a,b,c.试求使下式成立
a^2/(b^2+bc+c^2)+b^2/(c^2+ca+a^2)+c^2/(a^2+ab+b^2)≤k
的最小值.
简解 k的最小值2.
只需证
a^2/(b^2+bc+c^2)+b^2/(c^2+ca+a^2)+c^2/(a^2+ab+b^2)<2
<===>
∑a^2*(c^2+ca+a^2)*(a^2+ab+b^2)≤2∏(b^2+bc+c^2)
<===>
2∑a^2*∑(bc)^2+2∑bc*∑(bc)^2+2abc∑a*∑a^2
>∑a^2*∑a^4+∑bc*∑a^4+abc∑a*∑bc
<====>
16S^2*[∑a^2+∑bc]+abc∑a*[2∑a^2-∑bc]>0
当a=b,c→0时,取k最小值2.
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