问题: 三角形中线问题
设R表示三角形ABC的外接圆半径,ma,mb,mc是三角形ABC三中线。求证
9R≥mb*mc/ma+mc*ma/mb+ma*mb/mc
解答:
设R表示三角形ABC的外接圆半径,ma,mb,mc是三角形ABC三中线。
求证 9R≥mb*mc/ma+mc*ma/mb+ma*mb/mc
简证 所证不等式等价于
9Rma*mb*mc≥∑(mb*mc)^2
<===>
16Rma*mb*mc≥∑(bc)^2,
根据三角形恒等式4RS=abc,<===>
16abc*1ma*mb*mc≥4S*∑(bc)^2
两边平方得
4(abc)^2*(2b^2+2c^2-a^2)*(2c^2+2a^2-b^2)*(2a^2+2b^2-c^2)
≥[2∑(bc)^2-∑a^4]*[∑(bc)^2]^2
<===>
4(abc)^2[-4(∑a^2)^3+18∑(bc)^2*∑a^2-27(abc)^2]
≥2[∑(bc)^2]^3-∑a^4*[∑(bc)^2]^2
<===>
(b^2-c^2)^2*(c^2-a^2)^2*(a^2-b^2)^2≥0
显然成立.
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