在三角形ABC中,记三边长为a,b,c,R,r表示三角形ABC的外接圆和内切圆半径.求证
abc/√[2(b^2+c^2)*(c^2+a^2)*(a^2+b^2)]≥r/2R

在三角形ABC中,记三边长为a,b,c,R,r表示三角形ABC的外接圆和内切圆半径.求证
abc/√[2(b^2+c^2)*(c^2+a^2)*(a^2+b^2)]≥r/2R

证明 所证不等式等价于
4R^2*(abc)^2≥≥2r^2*(b^2+c^2)*(c^2+a^2)*(a^2+b^2)

由已知恒等式得
(b^2+c^2)*(c^2+a^2)*(a^2+b^2)
=∑a^2*∑(bc)^2-(abc)^2
=2[s^6-r(12R-r)s^4+r^2*(40R^2+8Rr-r^2)s^2-r^3*(4R+r)^3]
abc=4Rrs.

<===>
-s^6+r(12R-r)s^4+(16R^4-40R^2*r^2+8Rr^3-r^4)s^2+r^3*(4R+r)^3≥0

<===>
(s^2+4R^2+8Rr-r^2)*[-s^4+(4R^2+20Rr-2r^2)s^2-r(4R+r)^3]
+4rs^2(R-2r)*(4R^2+Rr+2r^2)
+4r(R+2r)(4R+r)*[R(4R+r)^2-2(2R-r)s^2]≥0

∵
-s^4+(4R^2+20Rr-2r^2)s^2-r(4R+r)^3≥0,
R(4R+r)^2-2(2R-r)s^2≥0,
R-2r≥0
∴上式成立.