问题: 数学函数
设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x^3.
(1)证明:f(x)是奇函数;
(2)当x∈[3,7]时,求函数f(x)的解析式
解答:
1)直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴
f(x+1)=f(x-1)
用x+1代替上式的x，则
f(x+1+1)=f(x+1-1)
即f(x+2)=f(x)
因为对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),
所以对于任意x∈R ，f(x)=-f(x),
即 f(x)是奇函数
2)
当-1≤x≤1 时f(x)=x^3
x+2∈[1,3] ,f(x+2)=-f(x),此时 f(x)=-(x-2)^3
同理
==>x∈[3,5] ,f(x)=(x-4)^3
x∈[5,7] ,f(x)=-(x-6)^3
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