问题: 三角形问题
在三角形ABC中,记三边长为a,b,c.求证
a^2/(b^2+c^2)+b^2/(c^2+a^2)+c^2/(a^2+b^2)≤12/5
解答:
在三角形ABC中,记三边长为a,b,c.求证
a^2/(b^2+c^2)+b^2/(c^2+a^2)+c^2/(a^2+b^2)≤12/5
简证
所证不等式去分母化简,等价于
-5(a^6+b^6+c^6)+7a^4*(b^2+c^2)+7b^4*(c^2+a^2)+7c^4*(a^2+b^2)+9(abc)^2>0
不妨设a=max(a,b,c),上式分解为
[5a^4+6a^2*bc-5(b^4+c^4)+3(bc)^2+4bc(b^2+c^2)]*[(b+c)^2-a^2]
+[2a^4+2a^2*(b^2+bc+c^2)+bc(7b^2+13bc+7c^2)]*(b-c)^2≥0
(b+c)^2-a^2>0
而a=max(a,b,c),故
5a^4+6a^2*bc-5(b^4+c^4)+3(bc)^2+4bc(b^2+c^2)>0.
故不等式得证.
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