问题: 证明二项式系数平方和等于组合数C(2n,n)
详见图
解答:
证 由二项式定理得
(1+x)^n=∑C(k,n)*x^k
所以 (1+x)^(2n)=
[C(0,n)+C(1,n)*x+...+C(n,n)*x^n]*[C(0,n)+C(1,n)*x+...+C(n,n)*x^n]
=...+[C(0,n)*C(n,n)+C(1,n)*C(n-1,n)+...+C(n,n)*C(0,n)]x^n+...
也就是说,在(1+x)^(2n)的展开式中,x^n的系数是:
∑C(k,n)*C(n-k,n)=∑[C(k,n)]^2.
另一方面,据二项式定理得:
(1+x)^(2n)=∑[C(k,2n)]*x^k.
即x^k的系数为C(n,2n).
由此可得:∑[C(k,n)]^2=C(n,2n).
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