问题: 三角形问题
在最大角不大于120°的三角形ABC中,记三边长为a,b,c.求证
a^2/(b^2+c^2)+b^2/(c^2+a^2)+c^2/(a^2+b^2)≤2
解答:
在最大角不大于120°的三角形ABC中,记三边长为a,b,c.求证
a^2/(b^2+c^2)+b^2/(c^2+a^2)+c^2/(a^2+b^2)≤2
简证
所证不等式去分母化简,等价于
-(a^6+b^6+c^6)+a^4*(b^2+c^2)+b^4*(c^2+a^2)+c^4*(a^2+b^2)+(abc)^2≥0
不妨设a=max(a,b,c),则b^2+c^2+bc≥a^2.
上式分解整理为
[a^2*(a^2+bc)-(b^4+c^2)+bc(b^2+c^2)]*(b^2+c^2+bc-a^2)+(b^3-c^3)^2≥0
∵a=max(a,b,c),易证
a^2*(a^2+bc)-(b^4+c^2)+bc(b^2+c^2)>0,
所以上式成立.
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