问题: 三角形不等式
设R,r,s表示三角形ABC的外接圆和内切圆半径,半周长,ma,mb,mc是三角形ABC三中线。求证
Rs^2≥2ma*mb*mc≥2rs^2
解答:
设R,r,s表示三角形ABC的外接圆和内切圆半径,半周长,ma,mb,mc是三角形ABC三中线。求证
Rs^2≥2ma*mb*mc≥2rs^2
简证 设b≥a≥c,
∵bc≥4rma, 2a^2+bc≥4mb*mc
∴bc(2a^2+bc)≥16r*ma*mb*mc
==> 8Rrs^2≥bc(2a^2+bc)
<==> a(a+b+c)≥2a^2+bc
<==> (a-c)*(b-a)≥0.
[8ma*mb*mc]^2
=(2b^2+2c^2-a^2)*(2c^2+2a^2-b^2)*(2a^2+2b^2-c^2)
≥(b^2+c^2+2bc-a^2)*(c^2+a^2+2ca-b^2)*(a^2+b^2+2ab-c^2)
=(a+b+c)^3*(b+c-a)*(c+a-b)*(a+b-c)
=64s^4*r^(8rs^2)^2.
∴ma*mb*mc≥rs^2
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