问题: 三角不等式
在三角形ABC中，求证:
3(cosA)^2+cosB+cosC>=11/12
解答:
在三角形ABC中，求证:
3(cosA)^2+cosB+cosC≥11/12
证明 设△ABC的外接圆与内切圆半径分别为R，r.
对于任意三角形ABC总有:
cosA+cosB+cosC≥1 (1)
据三角形恒等式:
cosA+cosB+cosC=1+r/R
即得(1).
有更一般的结论：
在三角形ABC中，t>1，则有
t(cosA)^2+cosB+cosC≥1-1/(4t) (2)
(2)证明
记T=t(cosA)^2+cosB+cosC-1+1/(4t),
T≥t(cosA)^2-cosA+1/(4t)
=[√t*cosA-1/(2√t)]^2>=0。
(2)中取t=3，即得所证不等式。
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