证明:每个李群都是拓扑群.

G为n维李群.

1.
任意a,b∈G,设a,b在开U,V中,
a=(a1,..,an),b=(b1,..,bn),
c=(c1,..cn)=a*b∈W,W为c的坐标开邻域.
任意x∈U,y∈V,
x*y=(z1(x1,..xn,y1,..yn),..,zn(x1,..xn,y1,..yn))
由于zi(x1,..xn,y1,..yn)为x1,..xn,y1,..yn的解析函数,
所以连续,所以x*y在(a,b)连续,即x*y连续.

2.
ⅰ.
设e为G的单位元,U为e的坐标开邻域.
e=(e1,..,en),可设任意x,y∈U,
x*y=(z1(x1,..xn,y1,..yn),..,zn(x1,..xn,y1,..yn)),
其中zi(x1,..xn,y1,..yn)为x1,..xn,y1,..yn的解析函数.
e*y=y
==>
zi(e1,..en,y1,..yn)=yi
==>
[Ә(zi)/Ә(yj)](e1,..en,e1,..en)=δij
根据隐函数的定理,有U子集V,且V为e的开邻域,
有V上的解析函数,y=(y1(x1,..xn),..,yn(x1,..xn)),
使x*y=e
==>
x^(-1)=y在V上解析,则在V上连续.

ⅱ.
x^(-1)在V上解析==>有V的子集W,且W为e的开邻域,
切W^(-1)为e的开邻域.
记V1=WW^(-1)
==>
任意a∈G,U1为a的坐标开邻域.
由于在G,F(y)=a^(-1)*y解析,
==>F^(-1)(V1)为a的开邻域,所以可以设
U1为F^(-1)(V1)=a*V1的子集.
==>
y∈U1,y=a*x,x∈V1
==>
y^(-1)=x^(-1)*a^(-1)
==>
y^(-1)在U1上解析,则连续.
==>
H(x)=x^(-1)在G上解析,则连续.

3.
根据1.2.得G为拓扑群.