在ΔABC中，三边长为a,b,c，S为ΔABC的面积，x,y,z为正实数。证明
xa^4/(y+z)+yb^4/(z+x)+zc^4/(x+y)≥8S^2

在ΔABC中，三边长为a,b,c，S为ΔABC的面积，x,y,z为正实数。
证明 xa^4/(y+z)+yb^4/(z+x)+zc^4/(x+y)≥8S^2 (1)

证明 根据三角形恒等式:
16S^2=2[(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2]-(a^4+b^4+c^4)
所以(1)式等价于:
(2x+y+z)(z+x)(x+y)a^4+(2y+z+x)(x+y)(y+z)b^4+(2z+x+y)(y+z)(z+x)c^4
≥2(y+z)(z+x)*(x+y)[(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2] (2)

(2)式配方得:
(y+z)[(x+y)b^2-(z+x)c^2]^2+(z+x)[(y+z)c^2-(x+y)a^2]^2
+(x+y)[(z+x)a^2-(y+z)b^2]^2≥0，
上式显然成立，当a^2:b^2:c^2=(y+z):(z+x):(x+y)时等号成立。