问题: 三角函数
已知三角形ABC中,(tanA+1)(tanB+1)=2,AB=2,求:面积的最大值
.请写出详细过程,谢谢
解答:
已知三角形ABC中,(tanA+1)(tanB+1)=2,AB=2,求:面积的最大值
解:(tanA+1)(tanB+1)=2→
tanA*tanB+tanA+tanB+1=2→
tanA*tanB+tanA+tanB=1→
tanA+tanB=1-tanA*tanB→
(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)=1→
tan(A+B)=1 (0°<A+B<180°)→
A+B=45°→C=135°
AB=c=2,由正弦定理:
c/sinc=2R(c表AB边,2R为三角形ABC外接圆直径)→
2/sin135°=2R→
2R=2/sin135°=2√2
三角形ABC面积=(1/2)a*b*sinC
=(1/2)2RsinA*2RsinB*(√2/2)
=(1/2)*2√2sinA*2√2sinB*(√2/2)
=2√2*sinA*sinB
=-√2[cos(A+B)-cos(A-B)]
=-√2[cos(45°)-cos(A-B)]
=√2cos(A-B)-√2cos(45°)
当A=B,面积取最大值
=√2-√2cos(45°)
=√2-1
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